Теорема Карно (термодинамика)

Теорема Карно — теорема о коэффициенте полезного действия (КПД) тепловых двигателей. Согласно этой теореме, КПД цикла Карно не зависит от природы рабочего тела и конструкции теплового двигателя и является функцией температур нагревателя и холодильника.

История

В 1824 году Сади Карно пришел к выводу: «Движущая сила тепла не зависит от агентов, взятых для её развития; её количество исключительно определяется температурами тел, между которыми, в конечном счете, производится перенос теплорода»

Логика рассуждений Карно была такова: «…можно с достаточным основанием сравнить движущую силу тепла с силой падающей воды: обе имеют максимум, который нельзя превзойти, какая бы ни была бы в одном случае машина для использования действия воды, и в другом — вещество, употребленное для развития силы тепла

Движущая сила падающей воды зависит от высоты падения и количества воды; движущая сила тепла также зависит от количества употребленного теплорода и зависит от того, что можно назвать и что мы на самом деле и будем называть высотой его падения, — то есть от разности температур тел, между которыми происходит обмен теплорода. При падении воды движущая сила строго пропорциональна разности уровней в верхнем и нижнем резервуаре. При падении теплорода движущая сила без сомнения возрастает с разностью температур между горячим и холодным телами….

Формулировки

Некоторые современные авторы (К. В. Глаголев , А. Н. Морозов из МГТУ им. Н. Э. Баумана), а также ранее Д.В.Сивухин (МФТИ) говорят уже о двух теоремах Карно, цитата: «Приведенные выше рассуждения позволяют перейти к формулировке первой и второй теорем Карно. Их можно сформулировать в виде двух следующих утверждений:

1. Коэффициент полезного действия любой обратимой тепловой машины, работающей по циклу Карно, не зависит от природы рабочего тела и устройства машины, а является функцией только температуры нагревателя и холодильника: [math]\displaystyle{ \eta = 1 - F(T_H,T_X). }[/math]

2. Коэффициент полезного действия любой тепловой машины, работающей по необратимому циклу, меньше коэффициента полезного действия машины с обратимым циклом Карно, при условии равенства температур их нагревателей и холодильников: [math]\displaystyle{ \eta_n \lt \!\eta_o. }[/math]

Другие авторы (например, Б. М. Яворский и Ю. А. Селезнев) указывают на три аспекта одной теоремы Карно, цитата (см. стр. 151—152.):

3°. Термический к.п.д. обратимого цикла Карно не зависит от природы рабочего тела и определяется только температурами нагревателя [math]\displaystyle{ T_H }[/math] и холодильника [math]\displaystyle{ T_X }[/math]:

[math]\displaystyle{ \eta_k = \frac{T_H-T_X}{T_H} = 1 - \frac{T_X}{T_H}. }[/math]

[math]\displaystyle{ \eta_k \lt 1 }[/math], ибо практически невозможно осуществить условие [math]\displaystyle{ T_H \rightarrow\infty }[/math] и теоретически невозможно осуществить холодильник, у которого : [math]\displaystyle{ T_X = 0 }[/math].

4°. Термический к.п.д. [math]\displaystyle{ \eta_o }[/math] произвольного обратимого цикла не может превышать термический к.п.д. обратимого цикла Карно, осуществленного между теми же температурами [math]\displaystyle{ T_H }[/math] и [math]\displaystyle{ T_X }[/math] нагревателя и холодильника:

[math]\displaystyle{ \eta_o \lt \frac{T_H-T_X}{T_H}. }[/math]

5°. Термический к.п.д. [math]\displaystyle{ \eta_n }[/math] произвольного необратимого цикла всегда меньше термического к.п.д. обратимого цикла Карно, проведенного между температурами [math]\displaystyle{ T_H }[/math] и [math]\displaystyle{ T_X }[/math]:

[math]\displaystyle{ \eta_n \lt \frac{T_H-T_X}{T_H}. }[/math]

Пункты 3° — 5° составляют содержание теоремы Карно.

Доказательства теоремы Карно

Существует несколько различных доказательств этой теоремы.

Доказательство Сади Карно

…В различных положениях поршень испытывает давления более или менее значительные со стороны воздуха, находящегося в цилиндре; упругая сила воздуха меняется как от изменения объёма, так и от изменения температуры, но необходимо заметить, что при равных объёмах, то есть для подобных положений поршня, при разрежении температура будет более высокой, чем при сжатии. Поэтому в первом случае упругая сила воздуха будет больше, а отсюда движущая сила, произведенная движением от расширения, будет больше, чем сила, нужная для сжатия. Таким образом, получится излишек движущей силы, излишек, который можно на что-нибудь употребить. Воздух послужит нам тепловой машиной; мы употребили его даже наиболее выгодным образом, так как не происходило ни одного бесполезного восстановления равновесия теплорода.

Современное доказательство для идеального газа

Одно из доказательств представлено в книге Д. тер Хаара и Г. Вергеланда «Элементарная термодинамика» (см. рис).

Один из возможных вариантов теоретического цикла Карно

Процесс D-E:

Поскольку газ идеальный, [math]\displaystyle{ (dU/dV)_T = 0 }[/math] и внутренняя энергия остается постоянной. Все тепло, полученное от резервуара при температуре [math]\displaystyle{ T_H }[/math], превращается во внешнюю работу:

[math]\displaystyle{ Q_{D-E} = \int\limits_{ik}^{cd}p {dV} = RT_H \ln\frac{V_{cd}}{V_{ik}}.\qquad }[/math] [1]

Процесс В-C:

Подобным же образом, работа, совершенная при изотермическом сжатии, превращается в тепло, которое передается холодному резервуару:

[math]\displaystyle{ Q_{B-C} = \int\limits_{gh}^{ef}p {dV} = RT_X \ln\frac{V_{ef}}{V_{gh}}.\qquad }[/math] [2]

Процессы E-B и C-D:

Поскольку газ идеальный и [math]\displaystyle{ U }[/math] зависит только от температуры [math]\displaystyle{ T }[/math], из уравнения [math]\displaystyle{ Q = U_2 - U_1 + A }[/math] следует, что работа, совершаемая в одном из этих двух адиабатических процессов, полностью компенсирует работу, совершаемую в другом процессе. Действительно, пользуясь адиабатическим условием [math]\displaystyle{ C_VdT + p dV = 0 }[/math], получаем:

[math]\displaystyle{ C_V(T_H - T_X) = \int\limits_{cd}^{gh} p dV = -\int\limits_{ef}^{ik} p dV. }[/math]

Чтобы найти связь между [math]\displaystyle{ V_{ik} }[/math], [math]\displaystyle{ V_{cd} }[/math], [math]\displaystyle{ V_{gh} }[/math] и [math]\displaystyle{ V_{ef} }[/math], заметим, что, согласно уравнению Пуассона [math]\displaystyle{ TV^{R/C_V}= const }[/math], в адиабатических процессах:

(E → B):[math]\displaystyle{ T_HV_{cd}^{x-1}= T_XV_{gh}^{x-1}, }[/math]

(C → D):[math]\displaystyle{ T_XV_{ef}^{x-1}= T_HV_{ik}^{x-1}, }[/math]

и, следовательно,

[math]\displaystyle{ \frac{V_{cd}}{V_{ik}} = \frac{V_{gh}}{V_{ef}}. }[/math]

Подставляя это соотношение в уравнения [1] и [2], получаем

[math]\displaystyle{ \frac{Q_{B-C}}{Q_{D-E}} = \frac{T_H}{T_X}. }[/math]

В то же время мы приходим к результату… что КПД оптимального цикла равен

[math]\displaystyle{ \eta_{max} = \frac{T_H-T_X}{T_H}. }[/math]

Литература

• S. Carnot. Réflexions sur la puissance motrice du feu et sur les machines propres à développer cette puissance. — Paris, Gautier-Villars, Imprimeur-Libraire, 1878.
• Карно Николя Леонар Сади, Перевод В.Р. Бурсиана и Ю.А. Круткова. Размышления о движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу.
• Д. Тер Хаар, Г. Вергеланд. Элементарная термодинамика. Перевод с английского И. Б. Виханского. Под редакцией Н.М. Плакиды.(D. TER HAAR, Oxford University, H. WERGELAND, Norwegian Institute of Technology, Trondheim. ELEMENTS OF THERMODYNAMICS. Addison-Wesley Publishing Company). — М.: Издательство «Мир», 1968.
• Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике. Для студентов и инженеров вузов. Издание седьмое, исправленное. — М.: Издательство «Наука», 1979.
• Глаголев К.В., Морозов А.Н. Физическая термодинамика. — М.: Издательство МГТУ им Н.Э.Баумана, 2004.
• Яворский Б.М., Селезнев Ю.А. Физика. Справочное руководство: Для поступающих в вузы. – 5-е изд., переработанное. — М.: Физматлит, 2004.

Ссылки

• http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1165074&uri=page1.html